Question

已知函數y=

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x-3

的定義域為集合A，y=-x²+a²+2a的值域為集合B．
（1）若a=2，求A∩B；
（2）若A∪B=R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據函數解析式有意義的原則可以求出集合A，根據實數的性質可以求出集合B
（1）將a=2代入集合B，結合集合交集運算法則可得答案．
（2）根據A∪B=R，可構造關于a的不等式組a²+2a≥3，解不等式可得實數a的取值范圍．

解答：解：函數y=

1

x-3

的定義域A={x|x＞3}，
y=-x²+a²+2a的值域為B={x|x≤a²+2a}
（1）當a=2時，B={x|x≤8}
此時A∩B={x|3＜x≤8}
（2）要使A∪B=R，需要a²+2a≥3，
解得a≤-3，或a≥1
故使A∪B=R的實數a的取值范圍為a≤-3，或a≥1

點評：本題考查的知識點是函數的定義域，函數的值域，集合的交集、并集運算，其中求出集合A，B是解答的關鍵．