Question

【題目】設(shè)集合由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列構(gòu)成：①②存在實(shí)數(shù)使對(duì)任意正整數(shù)都成立.

（1）現(xiàn)在給出只有5項(xiàng)的有限數(shù)列其中；試判斷數(shù)列是否為集合的元素；

（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為且對(duì)任意正整數(shù)點(diǎn)在直線上，證明：數(shù)列并寫出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)數(shù)列且對(duì)滿足條件②中的實(shí)數(shù)的最小值都有求證：數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列不是集合中的元素；數(shù)列是集合中的元素（2）證明見解析，實(shí)數(shù)的取值范圍是實(shí)數(shù)的取值范圍是（3）證明見解析

【解析】

（1）由于，可知數(shù)列不滿足條件①，對(duì)數(shù)列中的每項(xiàng)逐一驗(yàn)證性質(zhì)①，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得性質(zhì)②，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由于點(diǎn)在直線上，可得，利用遞推關(guān)系可得：，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，驗(yàn)證，可知條件①成立，由于，即可得出條件②及其，的范圍；（3）利用反證法：若數(shù)列非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)，使成立，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

（1）對(duì)于數(shù)列，∵，不滿足集合的條件①，

∴數(shù)列不是集合中的元素.

對(duì)于數(shù)列，∵，，

，而且，當(dāng)時(shí)有顯然滿足集合的條件①②，故數(shù)列是集合中的元素.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，

所以①當(dāng)時(shí)，有②

①②，得所以，當(dāng)時(shí)，有

又，所以

因此對(duì)任意正整數(shù)都有，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，

故

對(duì)任意正整數(shù)，都有，且，

故，實(shí)數(shù)的取值范圍是，實(shí)數(shù)的取值范圍是

（3）假設(shè)數(shù)列不是單遞增數(shù)列，則一定存在正整數(shù)，使，

此時(shí)，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)都有成立.

①時(shí)，顯然有成立；

②假設(shè)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，由可得從而有

所以

由①②知，對(duì)任意的都有1

顯然這個(gè)值中一定有一個(gè)最大的，不妨記為于是

從而與已知條件相矛盾.

所以假設(shè)不成立，故命題得證.