Question

已知x∈（0，

π

2

）時，函數h（x）=

1+2sin2x

sin2x

的最小值為b，若定義在R上的函數f（x）滿足對任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-b成立，設M，N分別為f（x）在[-b，b]上的最大值與最小值，則M+N的值為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,不等式的解法及應用

分析：由題意先化簡h（x）=

1+2sin2x

sin2x

=

3sin2x+cos2x

2sinxcosx

=

3

2

tanx+

1

2tanx

，再利用基本不等式求最值，從而得到對任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

成立；再令F（x）=f（x）-

3

，從而求得M-

3

、N-

3

分別是F（x）在[-b，b]上的最大值與最小值；且F（x）是奇函數，從而得到M-

3

+N-

3

=0．從而求得．

解答： 解：h（x）=

1+2sin2x

sin2x

=

3sin2x+cos2x

2sinxcosx

=

3

2

tanx+

1

2tanx

≥2

3 2 • 1 2

=

3

（當且僅當

3

2

tanx=

1

2tanx

，x=

π

6

時，等號成立）
故b=

3

；
故對任意的x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

成立；
令F（x）=f（x）-

3

，則f（x）=F（x）+

3

；
故f（x+y）=f（x）+f（y）-

3

可化為F（x+y）=F（x）+F（y）；
從而F（0）=F（0）+F（0），
故F（0）=0；
故F（0）=F（x）+F（-x）=0；
故F（x）是奇函數，
故由M、N分別是f（x）在[-b，b]上的最大值與最小值知，
M-

3

、N-

3

分別是F（x）在[-b，b]上的最大值與最小值；
故M-

3

+N-

3

=0；
故M+N=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了函數的性質應用及三角函數的化簡與最值的求法，同時考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．