Question

16．若點A和點B分別是函數f（x）和g（x）的圖象上任意一點，定義兩點間的距離|AB|的最小值為兩函數的“親密度”，則函數f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{e^x}，-2≤x＜-1}\\{e•f（{x-1}），x≥-1}\end{array}}$與g（x）=lnx的“親密度”為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 函數y=e^x和函數y=lnx互為反函數，關于直線y=x對稱．設直線y=x+t與y=e^x相切于點P（a，b），利用導數的幾何意義求出切點P，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：由題意，-1≤x＜0，-2≤x-1＜-1，f（x）=ef（x-1）=e^x，
0≤x＜1，-1≤x-1＜0，f（x）=ef（x-1）=e^x，
…
∴x≥-2時，f（x）=e^x．
函數y=e^x和函數y=lnx互為反函數，關于直線y=x對稱．由圖象可知：當f（x）在點A處的切線和g（x）在點B處的切線都與y=x平行時，|AB|最小．設A（x₁，y₁），B（x2，y2），則y₁=${e}^{{x}_{1}}$，y₂=lnx₂，f′（x）=e^x，k1=${e}^{{x}_{1}}$=1，可得x₁=0，A（0，1）；g′（x）=$\frac{1}{x}$，k₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$=1，則x₂=1，B（1，0）
設直線y=x+t與y=lnx相切于點P（a，b），|AB|_min=$\sqrt{2}$
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反函數的性質、導數的幾何意義、切線方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．