Question

（2013•連云港一模）關于x的不等式x²-ax+2a＜0的解集為A，若集合A中恰有兩個整數，則實數a的取值范圍是

[-1，-

1

3

)∪(

25

3

，9]

．

Answer 1

分析：由判別式△＞0，解得 a＜0，或 a＞8．①當a＜0時，由f（-1）＜0，且 f（-2）≥0，求得a的范圍．
②當a＞8時，由

a2-8a

≤3 求得8＜a≤9，再根據f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0求得a的范圍．
再把兩個a的范圍取并集，即得所求．

解答：解：由題意可得，判別式△=a²-8a＞0，解得a＜0，或 a＞8．
設f（x）=x²-ax+2a，
①當a＜0時，由于f（0）＜0，且對稱軸在y軸的左側，故A中的兩個整數為-1 和0，
故有f（-1）=1+3a＜0，且 f（-2）=4+4a≥0，解得-1≤a＜-

1

3

．
②當a＞8時，對稱軸x=

a

2

＞4，設A=（m，n），由于集合A中恰有兩個整數則有n-m≤3，
即

a2-8a

≤3，即a²-8a≤9，解得 8＜a≤9．
故有對稱軸 4＜

a

2

＜5，而f（2）=4＞0，f（3）=9-a≥0，
故A中的兩個整數為4和5，故 f（4）＜0，f（5）＜0，f（6）≥0．
即 16-2a＜0，且25-3a＜0，36-4a≥0 解得

25

3

＜a≤9．
綜合可得，-1≤a＜-

1

3

，或

25

3

＜a≤9．
故實數a的取值范圍是 [-1，-

1

3

)∪(

25

3

，9]，
故答案為 [-1，-

1

3

)∪(

25

3

，9]．

點評：本題主要考查二次函數的性質，一元二次不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．