Question

（2013•連云港一模）等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y²=4x的準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，AB=

3

，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為

1

．

Answer 1

分析：設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用|AB|=

3

，即可求得結(jié)論．

解答：解：設(shè)等軸雙曲線C的方程為x²-y²=λ．（1）
∵拋物線y²=4x，2p=4，p=2，∴

p

2

=1．
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1．
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線x=-1的兩個(gè)交點(diǎn)A（-1，y），B（-1，-y）（y＞0），
則|AB|=|y-（-y）|=2y=

3

，∴y=

3

2

．
將x=-1，y=

3

2

代入（1），得（-1）²-（

3

2

）²=λ，∴λ=

1

4

∴等軸雙曲線C的方程為x²-y²=

1

4

，即

x2

1 4

-

y2

1 4

=1，
∴C的實(shí)軸長(zhǎng)為1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．