Question

已知函數（）.
（1）證明：當時，在上是減函數，在上是增函數，并寫出當時的單調區間；
（2）已知函數，函數，若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）證明詳見解析，在是減函數，在是增函數；（2）.

試題分析：（1）根據函數單調性的定義進行證明即①設；②作差：；③因式分解到最簡；④根據條件判定符號；⑤作出結論，經過這五步即可證明在單調遞減，同理可證在是增函數，最后由奇函數的性質得出；在是減函數，在是增函數；（2）先將“對任意，總存在，使得成立”轉化為“函數在區間的值域包含了在區間的值域”，分別根據函數的單調性求出這兩個函數的值域，最后由集合的包含關系即可得到的取值范圍.
試題解析：（1）證明：當時
①設是區間上的任意兩個實數，且，則

∵，∴，
∴，即
∴在是減函數   4分
②同理可證在是增函數        5分
綜上所述得：當時， 在是減函數，在是增函數    6分
∵函數是奇函數，根據奇函數圖像的性質可得
當時，在是減函數，在是增函數   8分
（2）∵ （）  8分
由（1）知：在單調遞減，單調遞增
∴
，     10分
又∵在單調遞減
∴由題意知：
于是有：，解得      12分.