Question

17．若函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-5在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為[$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-5在（1，2）上單調(diào)遞增，對其進行求導(dǎo)轉(zhuǎn)化成f′（x）＞0在x∈（1，2）恒成立，從而求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-x²+x-5在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=3ax²-2x+1≥0，在x∈（1，2）恒成立，
∴a＞$\frac{2x-1}{{3x}^{2}}$在x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=$\frac{2x-1}{{3x}^{2}}$，x∈（1，2），
g′（x）=$\frac{-6x（x-1）}{{3x}^{2}}$＜0，
故g（x）在（1，2）遞減，
故g（x）＜g（1）=$\frac{1}{3}$，
故a≥$\frac{1}{3}$，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒成立，是一道中檔題．