Question

【題目】已知數列.如果數列滿足， ，其中，則稱為的“衍生數列”.

（Ⅰ）若數列的“衍生數列”是，求；

（Ⅱ）若為偶數，且的“衍生數列”是，證明：的“衍生數列”是；

（Ⅲ）若為奇數，且的“衍生數列”是，的“衍生數列”是，….依次將數列，，，…的第項取出，構成數列 .證明：是等差數列.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據定義可以得到關于的方程組，解這個方程組可得.

（Ⅱ）我們可以先計算及，于是我們猜測，用數學歸納法可以證明這個結論.最后再去證明的“衍生數列”就是.我們也可以對 ，進行代數變形得到，再根據得到數列是的“衍生數列”.

（Ⅲ）設數列中后者是前者的“衍生數列”，要證是等差數列，可證成等差數列，由（Ⅱ）中的證明可知，，代數變形后根據為奇數可以得到.也可以利用（Ⅱ）中的代數變形方法得到，從而得到， 即 成等差數列，再根據得到成等差數列.

（Ⅰ）解：因為，所以，

又，所以，

，故，同理有

，因此，，所以.

（Ⅱ）證法一：

證明：由已知， ，.

因此，猜想.

① 當時，，猜想成立；

② 假設時，.

當時，

故當時猜想也成立.

由 ①、② 可知，對于任意正整數，有.

設數列 的“衍生數列”為 ，則由以上結論可知

，其中 .

由于為偶數，所以，

所以，其中.

因此，數列即是數列.

證法二：

因為 ，

，

，

……

，

由于為偶數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得

即，

由于，，

根據“衍生數列”的定義知，數列是的“衍生數列”.

（Ⅲ）證法一：

證明：設數列中后者是前者的“衍生數列”.欲證成等差數列，只需證明成等差數列，即只要證明 即可.

由（Ⅱ）中結論可知，

，

所以，，即成等差數列，

所以是等差數列.

證法二：

因為，

所以.

所以欲證成等差數列，只需證明成等差數列即可.

對于數列及其“衍生數列”，

因為 ，

，

，

……

，

由于為奇數數，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得

即，

設數列的“衍生數列”為，

因為，

所以， 即 成等差數列.

同理可證，也成等差數列.

即是等差數列.所以成等差數列.