Question

【題目】已知橢圓E：（a＞b＞0）的離心率e.

（1）若點P（1，）在橢圓E上，求橢圓E的標準方程；

（2）若D（2，0）在橢圓內部，過點D斜率為的直線交橢圓E于M.N兩點，|MD|＝2|ND|，求橢圓E的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）因為，所以，則，所以，將P（1，）代入方程，得b2＝1，所以a2＝4，可得橢圓方程；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），設y1＜y2，因為，所以橢圓的方程為，MN的直線方程為x2，聯立求解韋達定理，結合條件|MD|＝2|ND|，可得y1＝﹣2y2，所以解得，，代入根與系數關系，得b2＝3，a2＝12，求得橢圓E的方程.

（1）因為，所以，則，所以，

將P（1，）代入方程，得b2＝1，所以a2＝4，

所以橢圓E的標準方程為；

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），不妨設y1＜y2，

因為，所以橢圓的方程為，MN的直線方程為x2，

聯立，得，16y2+8y+12﹣12b2＝0，

所以y1+y2，y1y2①.

因為|MD|＝2|ND|，即y1＝﹣2y2，所以，，

代入①，得b2＝3，a2＝12，

所以橢圓E的方程為.