Question

在棱長為1的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BD₁交平面ACB₁于點E，求證：

(1)BD₁⊥平面ACB₁；

(2)BE=ED₁.

Answer 1

證明:

∵

∴

∴BD₁⊥AC.

同理可證BD₁⊥AB₁，

于是BD₁⊥平面ACB₁.

(2)設底面正方形的對角線AC、BD交于點M，則對于空間任意一點O，設=b,=m,=b₁,=d₁，則上述等式可改寫成2(m-b)=d₁-b₁或b₁+2m=d₁+2b.記此即表明，由e向量所對應的點E分線段B₁M及D₁B各成λ(=2)之比.所以點E既在線段B₁M面ACB₁上又在線段D₁B上，所以點E是D₁B與平面ACB₁的交點，此交點E將D₁B分成2與1之比，即D₁E∶EB=2∶1，即BE=ED₁.