Question

設公比大于零的等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₄=5S₂，數列{b_n}的前n項和為T_n，滿足b₁=1，，n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），若數列{C_n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a₁=1，S₄=5S₂，求出數列的公比，即可求數列{a_n}的通項公式；通過，推出，利用累積法求解{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）求出等比數列的前n項和，化簡C_n=（S_n+1）（nb_n-λ），推出C_n+1-C_n，利于基本不等式求出數列{C_n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍．
解答：（本題滿分14分）
解：（Ⅰ）由S₄=5S₂，q＞0，得  …（3分）
又（n＞1），
則得
所以，當n=1時也滿足．  …（7分）
（Ⅱ）因為，所以，使數列{C_n}是單調遞減數列，
則對n∈N^*都成立，…（10分）
即，…（12分）
，
當n=1或2時，，所以．     …（14分）
點評：本題考查等比數列與等差數列的綜合應用，累積法的應用以及數列的函數的特征的應用，考查計算能力．