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(2013•寧波二模)設公比大于零的等比數列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,S4=5S2,數列{bn}的前n項和為Tn,滿足b1=1,Tn=n2bn,n∈N*
(Ⅰ)求數列{an}、{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設Cn=(Sn+1)(nbn-λ),若數列{Cn}是單調遞減數列,求實數λ的取值范圍.
分析:(Ⅰ)利用a1=1,S4=5S2,求出數列的公比,即可求數列{an}的通項公式;通過Tn=n2bn,推出
bn
bn-1
=
n-1
n+1
,利用累積法求解{bn}的通項公式.
(Ⅱ)求出等比數列的前n項和,化簡Cn=(Sn+1)(nbn-λ),推出Cn+1-Cn,利于基本不等式求出數列{Cn}是單調遞減數列,求實數λ的取值范圍.
解答:(本題滿分14分)
解:(Ⅰ)由S4=5S2,q>0,得  q=2,an=2n-1…(3分)
Tn=n2bn
Tn-1=(n-1)2bn-1
bn
bn-1
=
n-1
n+1
(n>1),
則得
bn
bn-1
bn-1
bn-2
bn-2
bn-3
•…•
b2
b1
=
n-1
n+1
n-2
n
n-3
n-1
•…•
2
4
1
3
=
2
n(n+1)

所以bn=
2
n(n+1)
,當n=1時也滿足.  …(7分)
(Ⅱ)因為Sn=2n-1,所以Cn=2n(
2
n+1
-λ)
,使數列{Cn}是單調遞減數列,
Cn+1-Cn=2n(
4
n+2
-
2
n+1
-λ)<0
對n∈N*都成立,…(10分)
4
n+2
-
2
n+1
-λ<0⇒λ>(
4
n+2
-
2
n+1
)max
,…(12分)
4
n+2
-
2
n+1
=
2n
(n+1)(n+2)
=
2
n+3+
2
n

當n=1或2時,(
4
n+2
-
2
n+1
)max=
1
3
,所以λ>
1
3
.     …(14分)
點評:本題考查等比數列與等差數列的綜合應用,累積法的應用以及數列的函數的特征的應用,考查計算能力.
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1
4
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