Question

【題目】已知 為自然對數的底數，若對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則實數 的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】設 ， ，當 時， ，函數 在 上為增函數， ，

設 ，

對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則

是 的不含極值點的單調區間的子集， ， 在 上遞減，在 上遞增，最小值 ， ，最大值為 ，①要使得對任意的 ，總存在唯一的 ，使得 成立，則 的最大值不大于 的最大值 ，解得 ；② 在 上遞減，在 上遞增， 的值域為 時，有兩個 值與之對應，若只有唯一的 ，則 的最小值要比 大，即： ，

綜上： 的取值范圍是 。
選答案為：D.

等式關于x恒成立，關于y能成立，問題轉化為函數f(x)的值域是函數g(y)的不含極值點的單調區間的子集，是解題要點。