Question

【題目】已知二次函數，滿足，.

（1）求函數的解析式；

（2）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）若函數的兩個零點分別在區間和內，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過f（0）=2，求出c，利用f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，求出a，b，得到函數的解析式．

（Ⅱ）求出函數f（x）的對稱軸，然后求解fmax（x），列出關系式即可求解實數t的取值范圍為（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的兩個零點分別在區間（﹣1，2）和（2，4）內，利用零點存在定理列出不等式組求解即可．

解：（Ⅰ）由f（0）=2，得c=2，

又f（x+1）﹣f（x）=2x﹣1，得2ax+a+b=2x﹣1，

故，解得：a=1，b=﹣2，

所以f（x）=x2﹣2x+2．

（Ⅱ）f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，對稱軸為x=1∈[﹣1，2]，

又f（﹣1）=5，f（2）=2，所以fmax（x）=f（﹣1）=5．

關于x的不等式f（x）﹣t＞0在[﹣1，2]有解，則t＜f（x）max=5，

所以實數t的取值范圍為（﹣∞，5）．

（Ⅲ）g（x）=x2﹣（2+m）x+2，若g（x）的兩個零點分別在區間（﹣1，2）和（2，4）內，

則滿足

解得：，所以實數m的取值范圍為．