Question

已知△ABC內接于以O為圓心，以1為半徑的圓，且3

OA

+4

OB

+5

OC

=

O

，
（Ⅰ）求數量積

OA

•

OB

（Ⅱ）求△ABC面積．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積運算對所求的式子移到右面一項后兩邊同時平方可求．
（2）由（1）可知OA⊥OB得然后以O為原點，

OA

，

OB

為x，y軸建立平面直角坐標系，設出C的坐標，表示出 

OA

，

OB

，

OC

進而可求出C的坐標，最后根據S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC可求出答案．

解答：解：（1）∵3

OA

+4

OB

+5

OC

=

O

，且外接圓的半徑r=1，
∴(3

OA

+4

OB

)2=(-5

OC

) 2=25．
∴9+16+24

OA

•

OB

=25，
∴

OA

•

OB

=0，
同理可得，

OC

•

OB

=-

4

5

，

OC

•

OA

=-

3

5

．
（2）設C（m，n）則3（1，0）+4（0，1）+5（m，n）=0．
解得m=-

3

5

，n=-

4

5

S=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC
=

1

2

OA•OB+

1

2

OA•n+

1

2

OB•m
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×

4

5

+

1

2

×1×

3

5

=

6

5

．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和三角形的面積公式．三角函數和向量的綜合題是高考的重點和熱點，要給予重視．