Question

正三棱錐P-ABC內接于半球O，底面ABC在大圓面上，則它相鄰的兩個側面所成二面角的余弦值為（　　）

• A．

  4

  15

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：設半球的半徑為單位1，從而可知正三角形ABC的邊長，進而可以求出側棱長，在側面上以任一個底角為頂點做高，由此可求高長，從而利用余弦定理，可求 相鄰的兩個側面所成二面角的余弦值

解答：解：由題意，設半球的半徑為單位1，則正三角形ABC的邊長為

3

；
三棱錐的高為1，所以側邊PA=PB=PC=

2

；
在側面上以任一個底角為頂點做高，它的長度等于

30

4

根據余弦定理，三角形的兩邊長為

30

4

，底邊為

3

，
從而余弦值就是

( 30 4 )2 +( 30 4 )2-3

2× 30 4 × 30 4

=

1

5

即相鄰的兩個側面所成二面角的余弦值為

1

5

故選D．

點評：本題以半球為載體，考查正三棱錐，考查面面角，關鍵是作出面面角，從而利用余弦定理進行求解．