Question

（2008•黃岡模擬）正三棱錐P-ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內切球與外接球的半徑之比為（　　）

• A．1：3
• B．1：(3+

  3

  )
• C．(

  3

  +1)：3
• D．(

  3

  -1)：3

Answer 1

分析：三棱錐擴展為長方體，它的對角線的長度，就是球的直徑，求出正三棱錐的外接球半徑；再利用三棱錐的體積的兩種求法，列出關于該正三棱錐的內切球的半徑的等式，求出內切球的半徑，最后求得內切球與外接球的半徑之比即可．

解答：解：三棱錐擴展為長方體，它的對角線的長度，就是球的直徑，
設側棱長為a，則
它的對角線的長度為：

3

a
球的半徑為：

3 a

2

，
再設正三棱錐內切球的半徑為r，
根據三棱錐的體積的兩種求法，得

1

3

×

1

2

×a3=

1

3

×[

1

2

a2×3+

3

4

(

2

a)2]×r，
∴r=

3- 3

6

a，
∴該正三棱錐的內切球與外接球的半徑之比為

3- 3 6 a

3 a 2

=(

3

-1)：3．
故選D．

點評：本題考查棱錐的結構特征，內切球、外接球的知識，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．