Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其左、右焦點為F₁、F₂，點P是坐標平面內一點，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，其中O為坐標原點．Q為橢圓的左頂點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點S（-

6

5

，0），且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，是否存在直線l，使得VQAB為等腰三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出P點坐標，由|OP|=

15

2

得關系式，再由

PF1

•

PF2

=

3

4

得關系式，兩式聯立求出c，再由離心率求得a，結合b²=a²-c²求出b，則橢圓方程可求；
（2）設出直線l的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系求出A，B兩點的橫坐標的和，由中點坐標公式求出A，B的中點，若否存在直線l，使得△QAB為等腰三角形，則AB中點與Q的連線與AB垂直，由斜率之積等于-1列式求k的值，此時得到了矛盾式子，說明使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．

解答：解：（1）設P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，∴x02+y02=

15

4

①
又

PF1

•

PF2

=

3

4

，∴(-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)=

3

4

，即x02-c2+y02=

3

4

②
①代入②得：c=

3

．又e=

3

2

，∴a=2，b=1．
故所求橢圓方程為

x2

4

+y2=1；
（2）直線l的方程為y=k(x+

6

5

)，
聯立

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

，得（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
x1+x2=-

240k2

25+100k2

，x1x2=

144k2-100

25+100k2

．
設AB的中點M（x₀，y₀），
則x0=-

120k2

25+100k2

，y0=k(

6

5

-

120k2

25+100k2

)=

30k

25+100k2

．
所以kMQ=

30k 25+100k2

2- 120k2 25+100k2

=

3k

5+8k2

．
若三角形QAB為等腰三角形，則MQ⊥AB，
即

3k

5+8k2

•k=-1，此式無解，
所以使得△QAB為等腰三角形的直線l不存在．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了一元二次方程的根與系數關系，考查了學生的運算能力，是難題．