Question

如圖，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）AD與BC所成的角；
（2）AD和平面BCD所成的角；
（3）二面角A-BD-C的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，通過 與 的夾角去求AD與BC所成的角．
（2）通過求 與平面BCD的夾角去求AD和平面BCD所成的角．
（3）求出平面CBD的一個法向量為 以及平面ABD的一個法向量為 ，求出兩法向量的余弦值即可得到平面CDF與平面ABCD所成角的余弦值．
解答：解：（1）設AB=1，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，得下列坐標：
O（0，0，0）D（，0，0）B（0，，0）C（0，，0）A（0，0，）
=（，0，-），•=（，0，-）•（0，1，0）=0
所以AD與BC所成角等于90°．
（2）由（1）可知=（0，0，1）為平面BCD的一個法向量
|cos＜，＞|=||=|-|=
∴直線AD與平面BCD所成角的大小90°-45°=45°
（3）設平面ABD的法向量為=（x，y，1）則
（x，y，1）•=（x，y，1）•（0，，-）=0
（x，y，1）•=（x，y，1）•（，0，-）=0
解得  x=1，y=，
則=（1，，1）
顯然（0，0，1）為平面BCD的法向量．
設二面角A-BD-C大小為θ，則
|cosθ|===
又  二面角A-BD-C為鈍二面角    
因此，二面角的余弦為．
（第一問中含建立坐標系2分）
點評：本題考查空間角的計算，二面角求解，考查轉化的思想方法，計算能力．利用空間向量的知識，則使問題論證變成了代數運算，使人們解決問題更加方便．