Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，通項公式為，．
（Ⅰ）計算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比較f（n）與1的大小，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）此問根據通項公式計算出前n項的和．當n=1時，f（1）=s₂；當n=2時，f（2）=s₄-s₁=a₂+a₃；當n=3時，f（3）=s₆-s₂．（2）當n=1時，≥1．當n≥2時，f（n）中沒有a₁，因此都小于1．
解答：解：（Ⅰ）由已知，，；（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；當n≥3時，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用數學歸納法證明：
（1）由（Ⅰ）當n=3時，f（n）＜1；（5分）
（2）假設n=k（k≥3）時，f（n）＜1，即，那么===，
所以當n=k+1時，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，當n≥3時，f（n）＜1．（9分）
所以當n=1，和n=2時，f（n）＞1；當n≥3時，f（n）＜1．（10分）
點評：此題主要考查數列遞推式及相關計算．