Question

已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若，設，是函數圖像上的任意兩點（），記直線AB的斜率為，求證：.

 

Answer 1

（1）（i）當時，的單增區間為，無單減區間.

（ii）當時，的單增區間為，，

單減區間為.

（iii）當時，的單增區間為，單減區間為.

（2）見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數的導數，注意到函數的定義域是；不等式，故只需按的正，負和零分別討論，在討論的過程中當的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數的單調區間．

（2）先求得，再將直線AB的斜率為用表示出來得到，然后用比差法求得注意到，故欲證，只須證明：因為，故即證：，

令，構造函數，再利用導數證明在上是增函數，從而可得，進而得所證不等式成立．

試題解析：（1）【解析】
1分

（i）當時， 恒成立，即恒成立，

故函數的單增區間為，無單減區間. 2分

（ii）當時，，

解得：

∵，∴函數的單增區間為，，

單減區間為. 4分

（iii）當時，由解得：.

∵，而此時，∴函數的單增區間為，

單減區間為. 6分

綜上所述：

（i）當時，的單增區間為，無單減區間.

（ii）當時，的單增區間為，，

單減區間為.

（iii）當時，的單增區間為，單減區間為. 7分

（2）證明：

由題，

則：

9分

注意到，故欲證，只須證明：. 10分

因為，故即證：

11分

令， 12分

則： 故在上單調遞增.

所以： 13分

即：，即：所以：. 14分

考點：1．利用函數的導數研究函數的單調性；2．利用導數證明不等式．