Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，設f（x）=

m

•

n

，f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于

π

2

．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量數量積的坐標運算和條件列出解析式，根據倍角公式和兩角和的正弦公式進行化簡，由兩個相鄰的對稱軸之間的距離是周期的一半，求出ω的值；
（Ⅱ）根據f（A）=1和A的范圍，求出A的值，代入三角形面積公式S_△ABC=

1

2

bcsinA，根據b+c=4和基本不等式求出面積的最大值，注意等號成立的條件是否取到．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）（4分）
∵f（x）的圖象相鄰兩對稱軸之間的距離等于

π

2

，
∴

π

2ω

=

π

2

，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．（8分）
∵b+c=4，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

(

b+c

2

)2=

3

（10分）
當且僅當b=c=2等號成立，故S_△ABC面積最大值為

3

．（12分）

點評：本題的考點是三角函數解析式的求法以及基本不等式的應用，應先對解析式化簡再把條件代入，利用知識點有倍角公式和兩角和的正弦公式，正弦函數的性質，以及利用基本不等式求最值問題，注意等號成立的條件．