Question

已知向量

a

=(sin(ωx+?)，2)，

b

=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜

π

2

)．函數f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)的圖象的相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M(1，

7

2

)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．

Answer 1

分析：（1）直接根據平面向量數量積的運算以及二倍角公式求出f（x）=3-cos（2ωx+2φ）；再結合相鄰兩對稱軸之間的距離為2，且過點M(1，

7

2

)求出ω，φ即可求f（x）的表達式；
（2）先求出周期T，再結合特殊角的三角函數值即可求出結論．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f(x)=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)
=sin²（ωx+φ）-1+4-cos²（ωx+φ）
=3-cos（2ωx+2φ）
∵T=4=

2π

2ω

，∴ω=

π

4

．
∵f(1)=3-cos(

π

2

•1+2φ)=

7

2

，
∴2φ=

π

6

或2φ=

5π

6

∵φ∈（0，

π

2

）
∴f(x)=3-cos(

π

2

•x+

π

6

)或f（x）=3-cos（

π

2

x+

5π

6

）…（9分）
（2）∵T=4
∴f（1）+f（2）+…+f（2009）=502[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）
=502[（3+

1

2

）+（3+

3

2

++（3-

1

2

）+（3-

3

2

）]+3+

1

2

=1509

1

2

．…（14分）

點評：本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式以及平面向量數量積的運算．是對基礎知識的綜合考查，屬于中檔題目．