Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數列，且sinC=2sinA．
（1）求cosB的值；
（2）若△ABC的面積為

7

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成的等比數列，利用等比數列的性質列出關系式，利用正弦定理化簡已知的等式得到關系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關系式代入計算即可求出值；
（2）由cosB的值，及B為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinB的值代入求出ac的值，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵a，b，c成等比數列，∴b²=ac，
利用正弦定理化簡sinC=2sinA得：c=2a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（2）∵cosB=

3

4

，B為三角形的內角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

7

8

ac=

7

，
∴ac=8，又c=2a，
∴2a²=8，即a²=4，
則a=2．

點評：此題考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．