Question

函數(shù)y=x+2sinx在區(qū)間[

π

2

，π]上的最大值是（　　）

• A、

  2π

  3

  +

  3

• B、

  2π

  3

• C、

  3

• D、以上都不對

Answer 1

分析：本題是由一元一次函數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合構(gòu)成的函數(shù)，可以用導(dǎo)數(shù)求其最值．

解答：解：函數(shù) y=x+2sinx 求導(dǎo)可得：y^′=1+2cosx，x∈[

π

2

，π]
令導(dǎo)數(shù) y^′=1+cosx=0，得cosx=-

1

2

∈[-1，0]
當cosx∈[-

1

2

，0]，即x∈[

π

2

，

2π

3

]時，y^′=1+2cosx＞0，則原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增；

當cosx∈[-1， -

1

2

)，即x∈[

2π

3

，π]時，y^′=1+2cosx＜0，則原函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞減，
∴當cosx=-

1

2

時，函數(shù)y=x+2sinx有最大值為

2π

3

+2×

3

2

=

2π

3

+

3

．
故選A．

點評：導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種解決問題的工具，是函數(shù)幾何意義的代數(shù)表達，導(dǎo)數(shù)是求解函數(shù)最值的有效手段之一．