Question

已知函數f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x．
（1）若函數y=f（x）的圖象關于直線x=a（a＞0）對稱，求a的最小值；
（2）若存在x0∈[0，

5

12

π]，使mf（x₀）-2=0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用降冪公式進行化簡，然后利用輔助角公式將f（x）化成2sin(2x+

π

3

)，最后根據正弦函數的對稱性求出對稱軸，求出a的最小值即可；
（2）根據x0∈[0，

5

12

π]的范圍求出2x₀+

π

3

的范圍，再結合正弦函數單調性求出函數的值域，從而可求出m的范圍．

解答：解：（1）因為f(x)=(2sinx+

3

cosx)cosx-

3

sin2x=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)
所以函數f（x）的圖象的對稱軸由下式確定：2x+

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z
從而x=

k

2

π+

π

12

，k∈Z．由題可知當k=0時，a有最小值

π

12

；
（2）當x0∈[0，

5

12

π]時，2x0+

π

3

∈[

π

3

，

7

6

π]，
從而sin(2x0+

π

3

)∈[-

1

2

，1]，則f（x₀）∈[-1，2]
由mf（x₀）-2=0可知：m≥1或m≤-2．

點評：本題主要考查了正弦函數的對稱性，以及正弦函數的值域，屬于基礎題．