Question

【題目】如圖1， ， ，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；

（2）當三棱錐的體積最大時，設點， 分別為棱， 的中點，試在棱上確定一點，使得 ，并求與平面所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）時,三棱錐的體積最大．（2）當時， ． 與平面所成角的大小．

【解析】試題分析：（1）設，則．又，所以.由此易將三棱錐的體積表示為的函數，通過求函數的最值的方法可求得它的最大值.

（2）沿將△折起后， 兩兩互相垂直，故可以為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量即可找到點N的位置，并求得與平面所成角的大小．

試題解析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設，則．

由， 知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），， ，且，

所以平面．又，所以．于是

，

當且僅當，即時，等號成立，

故當，即時,三棱錐的體積最大．

解法2：同解法1，得．

令，由，且，解得．

當時， ；當時， ．

所以當時， 取得最大值．

故當時,三棱錐的體積最大．

（2）以為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系．

由（1）知，當三棱錐的體積最大時， ， ．

于是可得， ， ， ， ， ，

且．

設，則.因為等價于，即

，故， .

所以當（即是的靠近點的一個四等分點）時， ．

設平面的一個法向量為，由及，

得可取．

設與平面所成角的大小為，則由， ，可得

，即．