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在銳角三角形中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足條件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1.
(Ⅰ)求∠B的值;
(Ⅱ)若b=3,求a+c的最大值.

解:(1)∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1,∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0,
即2sin2B(2cosB-1)(cosB+1)=0.
又△ABC為銳角三角形,∴2cosB-1=0,即∠B=
(Ⅱ)若b=3,由上可得∠B=,由余弦定理可得 cosB==
∴b2=9=a2+c2-2ac×=(a+c)2-3ac≥(a+c)2- (a+c)2=
∴a+c≤6,即a+c的最大值為6.
分析:(1)利用二倍角公式對sin22B+sin2BsinB+cos2B=1進行化簡,最后求得cosB,進而求得B.
(Ⅱ)由余弦定理可得 b2=9=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-(a+c)2=,由此求得a+c的最大值.
點評:本題主要考查了余弦定理、二倍角公式的應用.在求最值的問題上,對于二次函數(shù),常用配方法來求,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acsinC=(a2+c2-b2)sinB,
(1)若∠C=
π
4
,求∠A的大小.
(2)若三角形為非等腰三角形,求
c
b
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在銳角三角形中,三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足條件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1.
(Ⅰ)求∠B的值;
(Ⅱ)若b=3,求a+c的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

在銳角△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acsinC=(a2+c2-b2)sinB,
(1)若數(shù)學公式,求∠A的大小.
(2)若三角形為非等腰三角形,求數(shù)學公式的取值范圍.

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在銳角△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若acsinC=(a2+c2-b2)sinB,
(1)若,求∠A的大小.
(2)若三角形為非等腰三角形,求的取值范圍.

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