Question

在銳角△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
（1）若，求∠A的大小．
（2）若三角形為非等腰三角形，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵acsinC=（a²+c²-b²）sinB
∴…（2分）
由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）
因此，C=2B或C+2B=π…（4分）
（i）若C=2B，結合，可得，所以…（5分）
（ii）若C+2B=π，結合，則，可得…（6分）
（2）∵三角形為非等腰三角形，
∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B
由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分）
又∵三角形為銳角三角形，∴
因此，可得 …（10分）
而 …（12分）
∵cosB∈（，），∴可得=…（14分）
分析：（1）將已知等式變形，整理得，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后結合三角形內角和定理和，即可算出∠A的大小．
（2）根據三角形為非等腰三角形，結合（1）中化簡的結果可得C=2B，從而將化簡整理得．利用△ABC是銳角三角形，得到B∈（），結合余弦函數的圖象與性質，即可得出的取值范圍．
點評：本題給出三角形中的邊角關系，要求我們判斷角A的大小并求的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形內角和定理與余弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．