Question

在銳角△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a²+c²-b²）sinB，
（1）若∠C=

π

4

，求∠A的大小．
（2）若三角形為非等腰三角形，求

c

b

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將已知等式變形，整理得

sinC

sinB

=2cosB，可得sinC=2sinBcosB=sin2B，由此可得C=2B或C+2B=π，最后結合三角形內角和定理和∠C=

π

4

，即可算出∠A的大小．
（2）根據三角形為非等腰三角形，結合（1）中化簡的結果可得C=2B，從而將

c

b

化簡整理得

c

b

=2cosB．利用△ABC是銳角三角形，得到B∈（

π

6

，

π

4

），結合余弦函數的圖象與性質，即可得出

c

b

的取值范圍．

解答：解：（1）∵acsinC=（a²+c²-b²）sinB
∴

sinC

sinB

=

a2+c2-b2

ac

=2×

a2+c2-b2

2ac

=2cosB…（2分）
由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分）
因此，C=2B或C+2B=π…（4分）
（i）若C=2B，結合∠C=

π

4

，可得∠B=

π

8

，所以∠A=

5π

8

…（5分）
（ii）若C+2B=π，結合∠C=

π

4

，則∠B=

1

2

(π-

π

4

)=

3π

8

，可得∠A=

3π

8

…（6分）
（2）∵三角形為非等腰三角形，
∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B
由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分）
又∵三角形為銳角三角形，∴0＜2B＜

π

2

，0＜π-3B＜

π

2

因此，可得 

π

6

＜∠B＜

π

4

…（10分）
而 

c

b

=

sinC

sinB

=2cosB…（12分）
∵cosB∈（

2

2

，

3

2

），∴可得

c

b

=2cosB=

c

b

∈(

2

，

3

)…（14分）

點評：本題給出三角形中的邊角關系，要求我們判斷角A的大小并求

c

b

的取值范圍．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角形內角和定理與余弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．