Question

通過市場調查，得到某產品的資金投入x（萬元）與獲得的利潤y（萬元）的數據，如下表所示：

資金投入x	2	3	4	5	6
利潤y	2	3	5	6	9

（1）根據上表提供的數據，用最小二乘法求線性回歸直線方程；

y

=bx+a
（2）計算x=-6時的殘差

e

；（殘差公式）

ei

=y_i-

yi

（3）現投入資金10萬元，求估計獲得的利潤為多少萬元．

Answer 1

分析：（1）根據所給的數據，做出橫標和縱標的平均數，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，代入樣本中心點求出a的值，寫出線性回歸方程；
（2）根據上一問做出的線性回歸方程，利用殘差公式即可求出x=6時的殘差；
（3）根據（1）問做出的線性回歸方程，代入所給的x的數據，預報出獲得利潤的值．

解答：解：（1）根據所給的數據得到

.

x

=

2+3+4+5+6

5

=4，

.

y

=

2+3+5+6+9

5

=5   
∴

y

=

2×2+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5

4+9+16+25+36-5×16

=1.7  
a=5-1.9×4=-1.8
∴線性回歸方程是y=1.7x-1.8
（2）根據上一問做出的線性回歸方程，
把x=6（萬元）代入線性回歸方程得到

y

=1.7×6-1.8=8.4，
∴當x=6時的殘差

e

=9-8.4=0.6．
（3）根據（1）中做出的線性回歸方程，
把x=10（萬元）代入線性回歸方程得到y=1.7×10-1.8=15.2（萬元）
答：（1）線性回歸方程是y=1.7x-1.8，
（2）當x=6時的殘差為0.6，
（2）當x=10時，預報y的值是15.2萬元．

點評：本題考查線性回歸方程是求法和應用，本題解題的關鍵是正確運算線性回歸方程的系數，要說明得到的結果是一個預報值，本題是一個中檔題目．