Question

通過市場調查，得到某產品的資金投入x（萬元）與獲得的利潤y（萬元）的數據，如表所示：

資金投入x	2	3	4	5	6
利潤y	2	3	5	6	9

（1）畫出數據對應的散點圖；
（2）根據上表提供的數據，用最小二乘法求線性回歸直線方程

y

=

b

x+

a

；
（3）現投入資金10萬元，估計獲得的利潤為多少萬元？
（參考公式：

b

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

）

Answer 1

分析：（1）根據所給的五對數據，在坐標系中描出對應的點，畫出散點圖，可以看出這組數據是線性相關的關系；
（2）作出橫標和縱標的平均數，得到樣本中心點的坐標，利用最小二乘法作出線性回歸方程的系數，得到方程；
（3）把所給的x的值代入線性回歸方程，求出y的預報值，得到投入資金10（萬元），估計獲得的利潤．

解答：解：（1）由x、y的數據可得對應的散點圖如圖；…（3分）
（2）

.

x

=

2+3+4+5+6

5

=4，

.

y

=

2+3+5+6+9

5

=5，…（5分）

b

=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 xi2-4 . x 2

=

2×2+3×3+4×5+5×6+6×9-5×4×5

4+9+16+25+36-5×16

=1.7，…（8分）
∴

a

=-1.8，…（9分）  
故y=1.7x-1.8．…（10分）
（3）當x=10萬元時，y=15.2萬元，
所以投入資金10萬元，估計獲得的利潤為15.2萬元．…（12分）

點評：本題考查了線性回歸方程，解題的關鍵是正確利用最小二乘法來計算線性回歸方程的系數．考查了學生的運算能力，屬于基礎題．