Question

已知P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上的點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是其焦點(diǎn)，雙曲線的離心率是

5

4

，且

PF1

•

PF2

=0，若△PF1F2的面積為9，則a+b的值為（　　）

• A、5
• B、6
• C、7
• D、8

Answer 1

分析：由雙曲線的離心率 求得

b

a

=

3

4

，根據(jù)△PF₁F₂ 的面積等于9得到|PF₁|•|PF₂|=18，在△PF₁F₂中，由勾股定理和雙曲線的定義，可得b=3，從而求得a+b 的值．

解答：解：雙曲線的離心率是

c

a

=

a2+b2

a

=

5

4

，∴

b

a

=

3

4

．∵

PF1

 •

PF2

=0，
∴

PF1

 ⊥

PF2

，∴△PF₁F₂ 的面積S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=9，∴|PF₁|•|PF₂|=18．
在△PF₁F₂中，由勾股定理可得  4c²=|PF₁|²+|PF₂|²=（|PF₁|-|PF₂|）²+2|PF₁|•|PF₂|
=4a²+36，∴a²+b²=a²+9，∴b=3，∴a=4，
∴a+b=7，
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，利用雙曲線的定義是解題的難點(diǎn)．