Question

19．定義符號函數sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{1，x＞0}{0，x=0}}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，
設f（x）=$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₁（x）+$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₂（x），x∈[0，1]，其中${f_1}（x）=x+\frac{1}{2}$，f₂（x）=2（1-x），若$f（{f（a）}）∈[{0，\frac{1}{2}}]$，則實數a的取值范圍是{$\frac{1}{2}$}．

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₁（x）+$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x），x∈[0，\frac{1}{2}）\\ \frac{1}{2}{[f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）]，x=\frac{1}{2}\\ 0，x∈（\frac{1}{2}，1]\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}-x+\frac{5}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）\\-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}，x=\frac{1}{2}\\ 0，x∈（\frac{1}{2}，1]\end{array}\right.$，根據$f（{f（a）}）∈[{0，\frac{1}{2}}]$，可得滿足條件的實數a的取值范圍．

解答 解：∵${f_1}（x）=x+\frac{1}{2}$，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₁（x）+$\frac{sgn（\frac{1}{2}-x）+1}{2}$•f₂（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f}_{1}（x）+{f}_{2}（x），x∈[0，\frac{1}{2}）\\ \frac{1}{2}{[f}_{1}（x）+{f}_{2}（x）]，x=\frac{1}{2}\\ 0，x∈（\frac{1}{2}，1]\end{array}\right.$
=$\left\{\begin{array}{l}-x+\frac{5}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）\\-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}，x=\frac{1}{2}\\ 0，x∈（\frac{1}{2}，1]\end{array}\right.$，
若$f（{f（a）}）∈[{0，\frac{1}{2}}]$，
則f（a）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
則a=$\frac{1}{2}$，
故答案為：{$\frac{1}{2}$}．

點評 本題考查的知識點是分段函數的應用，函數解析式的求法，方程思想，難度中檔．