Question

為進行科學實驗，觀測小球A、B在兩條相交成60°角的直線型軌道上運動的情況，如圖所示，運動開始前，A和B分別距O點3m和1m，后來它們同時以每分鐘4m的速度各沿軌道l₁、l₂按箭頭的方向運動．問：
（1）運動開始前，A、B的距離是多少米？（結果保留三位有效數字）．
（2）幾分鐘后，兩個小球的距離最�。�

Answer 1

（1）運動開始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°
∴AB²=AO²+BO²-2AO•BOcos60°
由此可得小球開始運動前的距離為：AB=

32+12-2×3×1×cos60°

=

7

≈2.65(m)
（2）設t分鐘后，小球A、B分別運動到A'、B'處，則AA'=4t，BB'=4t．
當0≤t≤

3

4

時，（A'B'）²=（3-4t）²+（1+4t）²-2•（3-4t）•（1+4t）•cos60°=48t²-24t+7
當t＞

3

4

時，（A'B'）²=（4t-3）²+（1+4t）²-2•（4t-3）•（1+4t）•cos120°=48t²-24t+7
故 （A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0）
∵(A′B′)2=48(t-

1

4

)2+4(t≥0)
∴當t=

1

4

，（A'B'）_min=2（m）
即

1

4

分鐘后兩個小球的距離最小，最小值為2m．