Question

為進行科學實驗，觀測小球A、B在兩條相交成60°角的直線型軌道上運動的情況，如圖所示，運動開始前，A和B分別距O點3m和1m，后來它們同時以每分鐘4m的速度各沿軌道l₁、l₂按箭頭的方向運動．問：
（1）運動開始前，A、B的距離是多少米？（結果保留三位有效數字）．
（2）幾分鐘后，兩個小球的距離最小？

Answer 1

【答案】分析：（1）運動開始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°，利用余弦定理算出AB²的值，即可得到A、B之間的距離；
（2）利用余弦定理，分當和當兩種情況加以討論，再綜合可得（A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0），結合二次函數的圖象與性質，可得當t=時，有最小值，兩個小球的距離同時達到最小．
解答：解：（1）運動開始前，AO=3，BO=1，∠AOB=60°
∴AB²=AO²+BO²-2AO•BOcos60°
由此可得小球開始運動前的距離為：
（2）設t分鐘后，小球A、B分別運動到A'、B'處，則AA'=4t，BB'=4t．
當時，（A'B'）²=（3-4t）²+（1+4t）²-2•（3-4t）•（1+4t）•cos60°=48t²-24t+7
當時，（A'B'）²=（4t-3）²+（1+4t）²-2•（4t-3）•（1+4t）•cos120°=48t²-24t+7
故 （A'B'）²=48t²-24t+7（t≥0）
∵
∴當，（A'B'）_min=2（m）
即分鐘后兩個小球的距離最小，最小值為2m．
點評：本題給出實際問題，求兩個動點之間距離的最小值，著重考查了余弦定理、二次函數的值域與最值和進行簡單的演繹推理等知識點，屬于中檔題．