Question

已知直線l₁：x+a（a+1）y+1=0和直線l₂：bx+y+1=0垂直，且直線l₂分別與x軸、y軸交于點A、B；O為原點，若△AOB的面積存在最小值，則實數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用兩直線垂直的條件得出字母a，b的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．將△AOB的面積表示為字母的函數(shù)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)面積何時取到最小值進(jìn)行求解實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：由兩直線垂直，得出b=-a（a+1）=-a²-a，
l₂分別與x軸、y軸交于點A（-

1

b

，0）（b≠0）、B（0，-1）．
故△AOB的面積為

1

|2b|

，
若△AOB的面積存在最小值，也就是|b|=|a²+a|存在最大值，
因此b∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
故答案為：（-∞，0）∪（0，+∞）．

點評：本題考查平面解析幾何中兩直線垂直的等價條件，利用該等價條件得出a，b的關(guān)系之后，充分利用△AOB的面積與a，b的關(guān)系，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化能力．