Question

定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+3同時滿足以下條件：①f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；②f′（x）是偶函數；
③f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g(x)=lnx-

m

x

，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數，
∴f′（1）=3a+2b+c=0①
由f′（x）是偶函數得：b=0②
又f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直，f'（0）=c=-1③]
由①②③得：a=

1

3

，b=0，c=-1，即f(x)=

1

3

x3-x+3
（Ⅱ）由已知得：存在x∈[1，e]，使lnx-

m

x

＜x2-1
即存在x∈[1，e]，使m＞xlnx-x³+x
設M(x)=xlnx-x3+x

&x∈[1，e]

，則M'（x）=lnx-3x²+2設H（x）=M'（x）=lnx-3x²+2，則H′(x)=

1

x

-6x=

1-6x2

x

∵x∈[1，e]，∴H'（x）＜0，即H（x）在[1，e]遞減
于是，H（x）≤H（1），即H（x）≤-1＜0，即M'（x）＜0∴M（x）在[1，e]上遞減，∴M（x）≥M（e）=2e-e³
于是有m＞2e-e³為所求．