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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,作EF⊥PB交PB于點F.

(1)證明PA∥平面EDB;
(2)證明PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C﹣PB﹣D的大。

【答案】
(1)解:方法一:證明:連接AC,AC交BD于O,連接EO.

∵底面ABCD是正方形,∴點O是AC的中點

在△PAC中,EO是中位線,∴PA∥EO

而EO平面EDB且PA平面EDB,

所以,PA∥平面EDB

方法二:如圖所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點,設DC=a.

證明:連接AC,AC交BD于G,連接EG.

依題意得

∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故點G的坐標為

,這表明PA∥EG.

而EG平面EDB且PA平面EDB,∴PA∥平面EDB


(2)解:方法一,證明:

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴PD⊥DC

∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線,

∴DE⊥PC.①

同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.

而DE平面PDC,∴BC⊥DE.②

由①和②推得DE⊥平面PBC.

而PB平面PBC,∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD

方法二:證明;依題意得B(a,a,0),

,故

∴PB⊥DE.

由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD


(3)解:方法一:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.

由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB.

設正方形ABCD的邊長為a,

,

在Rt△PDB中,

在Rt△EFD中, ,∴

所以,二面角C﹣PB﹣D的大小為

方法二:解:設點F的坐標為(x0,y0,z0), ,則(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a).

從而x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a.所以

由條件EF⊥PB知, ,即 ,解得

∴點F的坐標為 ,且

即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角.

,且 ,

所以,二面角C﹣PB﹣D的大小為


【解析】法一:(1)連接AC,AC交BD于O,連接EO要證明PA∥平面EDB,只需證明直線PA平行平面EDB內的直線EO;(2)要證明PB⊥平面EFD,只需證明PB垂直平面EFD內的兩條相交直線DE、EF,即可;(3)必須說明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角,然后求二面角C﹣PB﹣D的大。ǘ喝鐖D所示建立空間直角坐標系,D為坐標原點,設DC=a.(1)連接AC,AC交BD于G,連接EG,求出 ,即可證明PA∥平面EDB;(2)證明EF⊥PB, ,即可證明PB⊥平面EFD;(3)求出 ,利用 ,求二面角C﹣PB﹣D的大小.

練習冊系列答案
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評估得分

[60,70

[70,80

[80,90

[90,100]

評分類型

D

C

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A

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C組

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x

y

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77

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z

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