Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．

（1）證明PA∥平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C﹣PB﹣D的大�。�

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．

∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點

在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO

而EO平面EDB且PA平面EDB，

所以，PA∥平面EDB

方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．

證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．

依題意得 ．

∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為 且 ．

∴ ，這表明PA∥EG．

而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA∥平面EDB

（2）解：方法一,證明：

∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC

∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，

∴DE⊥PC．①

同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．

而DE平面PDC，∴BC⊥DE．②

由①和②推得DE⊥平面PBC．

而PB平面PBC，∴DE⊥PB

又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD

方法二：證明；依題意得B（a，a，0）， ．

又 ，故 ．

∴PB⊥DE．

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD

（3）解：方法一：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．

設正方形ABCD的邊長為a，

則 ， ．

在Rt△PDB中， ．

在Rt△EFD中， ，∴ ．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為

方法二：解：設點F的坐標為（x0，y0，z0）， ，則（x0，y0，z0﹣a）=λ（a，a，﹣a）．

從而x0=λa，y0=λa，z0=（1﹣λ）a．所以 ．

由條件EF⊥PB知， ，即 ，解得

∴點F的坐標為 ，且 ，

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．

∵ ，且 ， ，

∴ ．

∴ ．

所以，二面角C﹣PB﹣D的大小為 ．

【解析】法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內的直線EO；（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內的兩條相交直線DE、EF，即可；（3）必須說明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大�。�法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出 ，即可證明PA∥平面EDB；（2）證明EF⊥PB， ，即可證明PB⊥平面EFD；（3）求出 ，利用 ，求二面角C﹣PB﹣D的大小．