Question

已知圓M:x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0與圓N:x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B兩點,且這兩點平分圓N的圓周,求圓M的半徑最小時的圓M的方程.

Answer 1

解:由x²+y²-2mx-2ny+m²-1-(x²+y²+2x+2y-2)=0得直線AB的方程為2(m+1)x+2(n+1)y-m²-1=0.

依題意,有AB過圓N的圓心(-1,-1),

∴m²+2m+2n+5=0,即(m+1)²=-2(n+2).

故n≤-2.又圓M的半徑r=,

∴r≥,r_min=,此時n=-2,m=-1.

故圓M的方程為(x+1)²+(y+2)²=5.