Question

已知圓M:x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0與圓N:x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B兩點,且這兩點平分圓N的圓周,求圓M的圓心軌跡方程,并求其中半徑最小時圓M的方程.

Answer 1

思路解析：根據兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程,根據條件可知公共弦過圓N的圓心,代入即可找到m和n的關系式.

解：兩圓方程相減可得公共弦所在直線AB方程:2(m+1)x+2(n+1)y-m²-1=0,依題意,直線AB過圓N的圓心(-1,-1),所以m²+2m+2n+5=0,即(m+1)²=-2(n+2)(n≤-2).所以圓M的圓心軌跡方程為(x+1)²=-2(y+2).又圓M的半徑r=≥,且n=-2,m=-1時取到等號.所以r的最小值為.此時圓M方程為(x+1)²+(y+2)²=5.