Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為6.

（1）求橢圓的方程.

（2）過橢圓左頂點(diǎn)的兩條斜率之積為的直線分別與橢圓交于點(diǎn).試問直線是否過某定點(diǎn)？若過，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到解得，再由a,b,c的關(guān)系得到結(jié)果；（2）設(shè)出直線AM，聯(lián)立直線和橢圓，表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)直線的斜率為，則，即，把點(diǎn)坐標(biāo)中的替換為，得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線MN即可得到直線過定點(diǎn).

（1）由題意知解得.

又，

，

橢圓方程為.

（2）設(shè)左頂點(diǎn)，根據(jù)已知得直線的斜率存在且不為零，

設(shè)，代入橢圓方程，得，

設(shè)，則，即，，

即.

設(shè)直線的斜率為，則，即，把點(diǎn)坐標(biāo)中的替換為，得.

當(dāng)的橫坐標(biāo)不相等，即時(shí)，，直線的方程為，即，該直線恒過定點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，、的橫坐標(biāo)為零，直線也過定點(diǎn).

綜上可知，直線過定點(diǎn).