Question

2．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，A，B分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若線段AB上存在點(diǎn)P，使PF₁⊥PF₂，則橢圓的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

Answer 1

分析 依題意，作圖如下：A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），直線AB的方程為：bx-ay+ab=0，設(shè)直線AB上的點(diǎn)P（x，y），則bx=ay-ab，由PF₁⊥PF₂，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=x²+y²-c²=$（\frac{a}{b}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），令f′（y）=2$\frac{a}{b}$$（\frac{a}{b}y-a）$+2y=0，解得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，為最小值．當(dāng)點(diǎn)P取B時，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$取得最大值．即可得出．

解答 解：依題意，作圖如下：
∵A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}{b}$=1．整理得：bx-ay+ab=0，
設(shè)直線AB上的點(diǎn)P（x，y）
則bx=ay-ab，
∴x=$\frac{a}{b}$y-a，
∵PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=$（\frac{a}{b}y-a）^{2}$+y²-c²=f（y），
令f′（y）=2$\frac{a}{b}$$（\frac{a}{b}y-a）$+2y=0，
∴由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，于是x=-$\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=$（-\frac{a{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}+（\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+{b}^{2}}）^{2}$-c²=0，
整理可得：$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，為最小值．
當(dāng)點(diǎn)P取B時，b=c，e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴橢圓的離心率的取值范圍為$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
故答案為：$[\frac{\sqrt{5}-1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．