Question

10．在曲線y=x²上切線的傾斜角為$\frac{π}{3}$的點是（　　）

• A． （0，0）
• B． $（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{4}）$
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{6}，\frac{1}{12}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 由切線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，算出切線的斜率k=$\sqrt{3}$．設切點的坐標為（a，a²），求出函數y=x²的導數為y'=2x，根據導數的幾何意義得2a=$\sqrt{3}$，解得a，從而可得切點的坐標．

解答 解：設切點的坐標為（a，a²）
∵切線的傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴切線的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
對y=x²求導數，得y'=2x，
∴2a=$\sqrt{3}$，得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得切點的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
故選B．

點評 本題求拋物線y=x²上切線的傾斜角為$\frac{π}{3}$的點的坐標．著重考查了拋物線的性質、切線的幾何意義、直線與拋物線的關系等知識，屬于中檔題．