Question

在直角坐標系中，已知點列P₁（1，-），P₂（2，），P₃（3，-），…，P_n（n，），…，其中n是正整數．連接P₁ P₂的直線與x軸交于點X₁（x₁，0），連接P₂ P₃的直線與x軸交于點X₂（x₂，0），…，連接P_n P_n+1的直線與x軸交于點X_n（x_n，0），…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）依次記△X₁P₂X₂的面積為S₁，△X₂P₃X₃的面積為S₃，…，△X_nP_n+1X_n的面積為S_n，…試求無窮數列{S_n}的各項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知直線P_nP_n+1的方程為：=，令y=0，得x_n=x=．
（2）由，知數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，由此能求出無窮數列{S_n}的各項和．
解答：解：（1）∵P_n（n，），P_n+1（n+1，），
∴直線P_nP_n+1的方程為：=，
∴令y=0，得，
整理，得x-n=，
∴x_n=x=．
即．
（2）由題設條件能夠導出，
∴數列{a_n}是首項為，公比為的等比數列，
∴S=S_n==．
點評：本題考查數列現解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．