Question

【題目】橢圓E： + =1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1 ， F2 ．
（Ⅰ）若橢圓E的長軸長、短軸長、焦距成等差數列，求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）若橢圓E過點A（0，﹣2），直線AF1 ， AF2與橢圓的另一個交點分別為點B，C，且△ABC的面積為 ，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由長軸長、短軸長、焦距成等差數列，
則2b=a+c，則4b2=a2+2ac+c2 ，
由b2=a2﹣c2 ， 則4（a2﹣c2）=a2+2ac+c2 ，
∴3a2﹣5c2﹣2ac=0，
兩邊同除以a2 ， 5e2+2e﹣3=0，
由0＜e＜1，解得e= ，
（Ⅱ）由已知可得b=2，
把直線AF2：y= x﹣2，代入橢圓方程 ，
整理得：（a2+c2）x2﹣2a2cx=0，
∴x= = ，
∴C（ ，y），
由橢圓的對稱性及平面幾何知識可知，△ABC的面積為S= ×2x×（y+2）= = [ ]2 ，
∴ [ ]2= ，解得：c2=1，
a2=b2+c2=5，
故所求橢圓的方程為
【解析】（Ⅰ）由2b=a+c，由b2=a2﹣c2 ， 利用離心率公式即可求得橢圓的離心率；（Ⅱ）把直線AF2：y= x﹣2，代入橢圓方程，求得C點坐標，利用三角形的面積公式，即可求得c的值，則a2=b2+c2=5，求得橢圓方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．