Question

已知函數，且f（1）=2
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并證明；
（3）若f（a）＞2，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中f（1）=2，代入可得m的值，進而求出函數的解析式，根據函數奇偶性的定義判斷f（-x）與f（x）的關系，可得函數的奇偶性
（2）任取1＜x₁＜x₂，判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，進而根據函數單調性的定義，可得函數的單調性
（3）由（1）中所得函數的解析式，構造關于a的不等式，解不等式可得答案．
解答：解：∵，且f（1）=2
∴1+m=2，解得 m=1…（1分）
（1）y=f（x）為奇函數，理由如下：…..（2分）
∵，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱…..（3分）
又
所以y=f（x）為奇函數…（4分）
（2）f（x）在（1，+∞）上的單調遞增，理由如下…..（5分）
設1＜x₁＜x₂，
則…（7分）
∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，＞0
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），f（x）在（1，+∞）上的單調遞增  …（9分）
（3）若f（a）＞2，
即＞2，顯然a＞0
則原不等式可化為a²-2a+1=（a-1）²＞0
解得a＞0且a≠1
點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性，函數的單調性，熟練掌握函數奇偶性與單調性的定義是解答的關鍵．