Question

已知函數，且f（1）=1，f（-2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點A（1，0），設點P（x，y）是函數y=f（x）（x＜-1）圖象上的任意一點，求|AP|的最小值，并求此時點P的坐標；
（3）當x∈[1，2]時，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（1）=1，f（-2）=4，代入可方程，解方程即可求解a，b得關于a，b的
（2）由（1）可知，利用兩點間的距離個公式代入，結合x的范圍可求x+1=t＜0，然后結合基本不等式式即可求解
（3）問題即為對x∈[1，2]恒成立，即對x∈[1，2]恒成立，則0＜m＜1或m＞2．
法一：問題化為對x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m對x∈[1，2]恒成立，從而可轉化為求解函數的最值，利用函數的單調性即可求解
法二：問題即為對x∈[1，2]恒成立，即對x∈[1，2]恒成立，0＜m＜1或m＞2．問題轉化為x|x-m|≤m對x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x-m|，結合函數的性質可求
解答：解：（1）由f（1）=1，f（-2）=4．
得
解得：（3分）
（2）由（1），
所以，
令x+1=t，t＜0，
則
=
因為x＜-1，所以t＜0，
所以，當，
所以，（8分）
即AP的最小值是，此時，
點P的坐標是．（9分）
（3）問題即為對x∈[1，2]恒成立，
也就是對x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使問題有意義，0＜m＜1或m＞2．
法一：在0＜m＜1或m＞2下，問題化為對x∈[1，2]恒成立，
即對x∈[1，2]恒成立，mx-m≤x²≤mx+m對x∈[1，2]恒成立，
①當x=1時，或m＞2，
②當x≠1時，且對x∈（1，2]恒成立，
對于對x∈（1，2]恒成立，等價于，
令t=x+1，x∈（1，2]，則x=t-1，t∈（2，3]，，t∈（2，3]遞增，
∴，，結合0＜m＜1或m＞2，
∴m＞2
對于對x∈（1，2]恒成立，等價于
令t=x-1，x∈（1，2]，則x=t+1，t∈（0，1]，
，t∈（0，1]遞減，
∴，
∴m≤4，
∴0＜m＜1或2＜m≤4，
綜上：2＜m≤4（16分）
法二：問題即為對x∈[1，2]恒成立，
也就是對x∈[1，2]恒成立，（10分）
要使問題有意義，0＜m＜1或m＞2．
故問題轉化為x|x-m|≤m對x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=x|x-m|
①若0＜m＜1時，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x-m）=x²-mx，g（x）在x∈[1，2]時單調遞增，
依題意g（2）≤m，，舍去；
②若m＞2，由于x∈[1，2]，故，
考慮到，再分兩種情形：
（�。�，即2＜m≤4，g（x）的最大值是，
依題意，即m≤4，
∴2＜m≤4；
（ⅱ），即m＞4，g（x）在x∈[1，2]時單調遞增，
故g（2）≤m，
∴2（m-2）≤m，
∴m≤4，舍去．
綜上可得，2＜m≤4（16分）
點評：本題主要考查了利用待定系數法求解函數的解析式，及基本不等式在求解函數的 值域中的應用，函數的恒成立問題與函數最值求解中的綜合應用．