Question

已知函數，且f（1）=3
（I）求a的值；
（II）判斷函數的奇偶性；
（III）判斷函數f（x）在（1，+∞）上是增函數還是減函數？并證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用f（1）=3，代入解析式進行求解；
（II）先求出函數的定義域，并且判斷是否關于原點對稱，再驗證f（x）和f（-x）的關系；
（III）先給出結論，再利用函數單調性的定義進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結論．
解答：解：（I）由f（1）=3得，2-a=3（2分）
∴a=-1（4分）
（II）由（I）得函數，
則函數的定義域為{x|x≠0}（5分）
∵=（7分）
∴函數為奇函數．（8分）
（III）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，證明如下：
任取x₁，x₂∈（1，+∞），不妨設x₁＜x₂，則有（9分）

∵x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，2x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．（12分）
點評：本題考查了函數奇偶性和單調性的證明，注意證明奇偶性時必須先求出函數的定義域，并且判斷是否關于原點對稱，函數單調性的證明必須按照定義法進行證明，即取值-作差-變形-判斷符號-下結論．